Решу егэ профиль задания 14. ЕГЭ по Математике (базовый)

В задании 14 ЕГЭ по математике выпускникам, сдающим экзамен, необходимо решить задачу по стереометрии. Именно поэтому научиться решать такие задачи должен каждый школьник, если он хочет получить положительную оценку на экзамене. В данной статье представлен разбор двух типов заданий 14 из ЕГЭ по математике 2016 года (профильный уровень) от репетитора по математике в Москве.

Доступен видеоразбор данного задания:

Рисунок к заданию будет выглядеть следующим образом:

а) Поскольку прямая MN параллельна прямой DA , которая принадлежит плоскости DAS , то прямая MN параллельна плоскости DAS . Следовательно, линия пересечения плоскости DAS и сечения KMN будет параллельна прямой MN . Пусть это линия KL . Тогда KMNL — искомое сечение.

Докажем, что плоскость сечения параллельна плоскости SBC . Прямая BC параллельна прямой MN , так как четырехугольник MNCB является прямоугольником (докажите сами). Теперь докажем подобие треугольников AKM и ASB . AC — диагональ квадрата. По теореме Пифагора для треугольника ADC находим:

AH — половина диагонали квадрата, поэтому . Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника находим:

Тогда имеют место соотношения:

Получается, что стороны, образующие угол A в треугольниках AKM и ASB , пропорциональны. Следовательно, треугольники подобны. Из этого следует равенство углов, в частности, равенство углов AMK и ABS . Так как эти углы соответственные при прямых KM , SB и секущей MB , то KM параллельна SB .

Итак, мы получили, что две пересекающиеся прямые одной плоскости (KM и NM ) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (SB и BC ). Следовательно, плоскости MNK и SBC параллельны.

б) Поскольку плоскости параллельны, расстояние от точки K до плоскости SBC равно расстоянию от точки S до плоскости KMN . Ищем это расстояние. Из точки S опускаем перпендикуляр SP к прямой DA . Плоскость SPH пересекается с плоскостью сечения по прямой OR . Искомое расстояние есть длин перпендикуляра из точки S к прямой OR .

Действительно, KL перпендикулярна плоскости OSR , так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости (OR и OS ). Перпендикулярность OR и KL следует из теоремы о трёх перпендикулярах. Следовательно, KL перпендикулярна высоте треугольника ORS , проведенной к стороне OR . То есть эта высота перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости KMN , а значит перпендикулярна этой плоскости.

Ищем стороны треугольника SOR . Сторону SR ищем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника RSH : . Длину SP находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника PSH : . Треугольники SOK и SPA подобны (докажите это сами) с коэффициентом подобия . Тогда и . Из прямоугольного треугольника SPH находим . Из теоремы косинусов для треугольника POR находим, что . Итак, нашли все стороны треугольника SOR .

Из теоремы косинусов для треугольника SOR находим , тогда из основного тригонометрического тождества находим . Тогда площадь треугольника OSR равна:

С другой стороны эта площадь равна , где h — искомая высота. Откуда находим .

Плоскости оснований призмы параллельны, поэтому сечение будет пересекать эти плоскости по прямым LS и DK , которые также параллельны. Пусть B 1 M — высота треугольника A 1 B 1 C 1 , а BE — высота треугольника ABC . Тогда рисунок будет выглядеть следующим образом:

Из прямоугольного треугольника B 1 M A 1 находим по теореме Пифагора . Из прямоугольного треугольника B 1 QS находим по теореме Пифагора . Тогда . Кроме того (половина высоты BE правильного треугольника ABC ). Треугольники MQT и PTB подобны по двум углам (углы PTB и MTQ равны как вертикальные, углы TPB и MQT равны как накрест лежащие при параллельных прямых MQ , PB и секущей PQ ). Их коэффициент подобия равен .

Далее из прямоугольного треугольника MBE находим . Используя доказанное подобие, находим . Аналогично, . Следовательно, .

Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9.

Основание O высоты SO SS 1 , M - середина ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7: 2.

SBCD плоскостью S 1 LM - равнобедренная трапеция.

Решение.

а) Проведём медиану S 1 M треугольника SS 1 B , которая пересекает прямую BB 1 , являющуюся одновременно медианой треугольника SS 1 B и основания BCD , в точке T . Тогда ВТ : ТВ 1 = 4: 5.

Точка L , в свою очередь, делит отрезок B 1 D в отношении DL : LВ 1 = 4: 5, так как LD : LC = 2: 7 и отрезок BB 1 - медиана треугольника BCD .

Следовательно, сторона сечения, проходящая через точки L и T , параллельна стороне BD основания BCD . Пусть прямая LT пересекает BC в точке P .

Проведём через точку M среднюю линию в треугольнике SBD , пусть она пересекает сторону SD в точке K . Тогда PMKL - искомое сечение, причём BP = DL и BM = KD . Из равенства треугольников BMP и DKL получим MP = KL , а значит, PMKL - равнобедренная трапеция.

б) Большее основание PL трапеции равно 7, поскольку треугольник LPC правильный. Второе основание MK равно 4,5, поскольку MK - средняя линия правильного треугольника SBD . Следовательно, средняя линия трапеции равна

Vasily Ass 09.03.2016 14:53

почему в 1-ом предложении решения BT: TB1 = 4:5, что это за свойство? "по­сколь­ку BB1 также яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной тре­уголь­ни­ка SS1B." такого свойства нет

Schg Wrbutr 21.04.2017 19:58

Скажите, откуда вы берете отношение 4:5? Можете это свойство медиан объяснить?

Александр Иванов

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N - середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5: 1, считая от точки C .

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C , а основанием - сечение пирамиды SABC плоскостью α.

Решение.

а) В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Проекция высоты S пирамиды на основание дает точку O , которая лежит на пересечении медиан. Таким образом, точка O делит медианы в отношении 2: 1, то есть

Рассмотрим высоту SE треугольника SAB . Точка F 1 являеся ее серединой. Следовательно, ее проекция на медиану CE делит отрезок OE пополам. В свою очередь отрезок тогда

В итоге получаем, что точка F делит медиану CE как или в соотношении 5: 1, начиная от точки C . Что и требовалось доказать.

б) Найдем высоту искомой пирамиды Медиану СЕ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCE :

Вычислим площадь основания пирамиды (площадь трапеции MNZK ). Отрезок отрезок (так как это средняя линия треугольника ABS ), высота трапеции Найдем высоту SO из прямоугольного треугольника SOC :

Площадь трапеции (основания пирамиды) равна

Объем пирамиды найдем по формуле

Ответ: б)

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016

В пирамиде SABC в основании лежит правильный треугольник ABC со стороной Точка O - основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.

а) Докажите, что точка O лежит вне треугольника ABC.

б) Найдите объём четырёхугольной пирамиды SABCO .

Решение.

а) Поскольку SA = SC , точка S лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку AC и проходящей через его середину M . Следовательно, O лежит на прямой BM . Обозначим высоту пирамиды за x , тогда Следовательно, и При этом поэтому точка O лежит вне треугольника. Более того, поскольку AO BO, она лежит на продолжении BM за точку M .

б) Из треугольника SMA найдем Теперь, из треугольника SMO находим Тогда из треугольника BOS имеем

Ответ:

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L - середина ребра SC . Тангенс угла между прямыми BL и SA равен

а) Пусть O - центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение.

а) Поскольку средняя линия треугольника , Но по теореме о трех перпендикулярах - проекция на плоскость основания пирамиды - прямая Значит, и

б) Пусть Тогда , Кроме того, , откуда Тогда высота боковой грани пирамиды и площадь поверхности пирамиды

Ответ: 192.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S равны 6. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS 1 , M - середина ребра AS , точка L лежит на ребре BC так, что BL : LC = 1: 2.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью S 1 LM - равнобокая трапеция.

б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

Решение.

Прямая S 1 M пересекает медиану AO треугольника ABD в точке T так, что АТ : TO = 2: 1, поскольку T - точка пересечения медиан треугольника SAS 1 и O - точка пересечения диагоналей основания ABCD , так как пирамида SABCD правильная.

Следовательно, AT : TC = 1: 2. Точка L делит отрезок BC в отношении BL : LC = 1: 2, следовательно, треугольники ACB и TCL подобны с коэффициентом подобия k = AC : TC = BC : CL = 3: 2, так как они имеют общий угол с вершиной C и стороны AC и BC в треугольнике ABC пропорциональны сторонам TC и LC треугольника TCL , заключающим тот же угол. Значит, сторона сечения, проходящая через точки L и T , параллельна стороне AB основания пирамиды SABCD AD в точке P .

Сторона сечения, проходящая через точку M в плоскости SAB , параллельна прямой AB , так как плоскость S 1 LM пересекает плоскость SAB и проходит через прямую PL , параллельную плоскости SAB . Пусть эта сторона сечения пересекает сторону SB в точке K . Тогда сечение PMKL - равнобокая трапеция, поскольку AP = BL и AM = BK .

Большее основание LP трапеции равно 6, поскольку ABCD - квадрат. Второе основание MK трапеции равно 3, поскольку MK - средняя линия треугольника SAB . Значит, средняя линия трапеции равна

Ответ: б) 4,5.

В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при рёбрах AD и BC равны. AB = BD = DC = AC = 5.

а) Докажите, что AD = BC .

б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при AD и BC равны 60°.

Решение.

а) Треугольник BAC - равнобедренный. Проведём AM ⊥ BC . M - середина BC , тогда DM ⊥ BC , так как треугольник BDC равнобедренный. ∠AMD BC . Аналогично ∠BNC = φ - линейный угол двугранного угла при ребре AD . ΔABC = ΔDBC по трём сторонам, тогда MA = MD и

Аналогично ΔBAD = ΔCAD и NB = NC , а

Треугольники ANM и BMN равны по общему катету MN и острому углу α, тогда AN = BM . Но следовательно, AD = BC .

б) По условию φ = 60°, тогда треугольник AMD равносторонний. Пусть AD = AM = MD = BC = a , тогда В треугольнике AMB имеем откуда и

Ответ:

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке - 2016. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день, вариант А. Ларина (часть С).

В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда AB , равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD , перпендикулярный AB . Построено сечение ABNM , проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD , лежат с одной стороны от сечения.

а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.

б) Найдите объём пирамиды CABNM .

Решение.

а) Для построения сечения опустим перпендикуляры AM и BN на второе основание цилиндра. Отрезки AM и BN параллельны и равны, значит, ABNM - параллелограмм. Так как прямые AM и BN перпендикулярны основаниям цилиндра и, в частности, прямой AB , параллелограмм ABNM является прямоугольником. Диагонали прямоугольника равны, что и требовалось доказать.

б) Площадь прямоугольника ABNM равна Отрезок OH равен Высота CH пирамиды CABNM равна Следовательно, объём пирамиды CABNM равен

Ответ: б)

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 все рёбра равны 6. На рёбрах AA 1 и CC 1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1.

а) Докажите, что плоскость MNB 1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра MNBB 1 .

Решение.

Площадь основания призмы равна а объём призмы равен

В четырёхугольной пирамиде B 1 A 1 C 1 NM A 1 B 1 C 1 , опущенной на сторону A 1 C 1 , и равна Основание A 1 C 1 NM пирамиды B 1 A 1 C 1 NM является трапецией, площадь которой равна 27. Значит, объём пирамиды B 1 A 1 C 1 NM равен то есть составляет половину объёма призмы. Поэтому объёмы многогранников B 1 A 1 C 1 NM и ABCMB 1 N равны.

б) В четырёхугольной пирамиде BACNM высота совпадает с высотой основания призмы ABC , опущенной на сторону AC , и равна Основание пирамиды BACNM является трапецией, площадь которой равна 9. Объём пирамиды BACNM равен

Многогранник ABCMB 1 N состоит из двух частей: BACNM и MNBB 1 . Значит, объём тетраэдра MNBB 1 равен

Ответ:

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ - 2016. Досрочная волна. Ва­ри­ант 201. Юг

Александр Иванов

Высота в правильном треугольнике со стороной 6

Есть правильная треугольная призма ABCA 1 B 1 C 1 со стороной основания 12 и высотой 3. Точка K - середина BC , точка L лежит на стороне A 1 B 1 так, что В 1 L = 5. Точка М - середина A 1 C 1 .

Через точки K и L проведена плоскость таким образом, что она параллельна прямой AC .

а) Доказать, что указанная выше плоскость перпендикулярна прямой MB .

б) Найти объем пирамиды с вершиной в точке В и у которой основанием является сечение призмы плоскостью.

Решение.

а) Отметим точки и на ребрах и соответственно так чтобы Тогда плоскость это плоскость

Очевидно , поскольку проекция на плоскость - высота треугольника Она перпендикулярна , а значит и По теореме о трех перпендикулярах

Рассмотрим теперь проекцию точки на плоскость Поскольку проекция на эту плоскость - середина ребра , то Докажем теперь, что прямая перпендикулярна Тогда по теореме о трех перпендикулярах окажется что , а тогда и

Обозначим за точку пересечения отрезков и , за и - проекции точек и на прямую Тогда

Итак, тангенсы этих углов обратны друг другу, поэтому углы в сумме дают 90° и угол = 180° - 90° = 90°, что и требовалось доказать.

б) Очевидно , так как - равносторонний треугольник.

Ответ:

Источник: ЕГЭ - 2016. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Центр

Длина диагонали куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равна 3. На луче A 1 C отмечена точка P так, что A 1 P = 4.

а) Докажите, что PBDC 1 - правильный тетраэдр.

б) Найдите длину отрезка AP .

Решение.

а) Введём систему координат как показано на рисунке. Поскольку ребро куба в корень меньше его диагонали, ребро данного куба равно Тогда точки B , D , C 1 имеют координаты соответственно.

Поскольку P лежит на продолжении A 1 C , отрезок A 1 P можно рассматривать как диагональ куба с ребром Тогда точка P имеет координаты

Найдём расстояние от P до точек D 1 , B и C 1:

Отрезки C 1 B , DB и DC 1 - диагонали граней куба, поэтому по теореме Пифагора Тогда Значит, все рёбра тетраэдра DBC 1 P равны, поэтому он правильный.

б) Координаты точки A : Раcстояние от точки P до точки A равно

Ответ:

Приведём другое решение.

а) Диагональ куба в больше его ребра: Следовательно,

Заметим, что как диагонали квадратов со стороной AB . Тогда треугольник BC 1 D - правильный.

Пусть Поскольку ABCD - квадрат имеем:

Поскольку как накрест лежащие, и как вертикальные, получаем: по двум углам, тогда

Заметим, что треугольник - прямоугольный, тогда откуда

В треугольнике OMC имеем: так как - верно. Тогда, по теореме, обратной теореме Пифагора, ΔOMC − прямоугольный, ∠M = 90°.

Установите соответствие между графиками функций и характеристиками этих функций на отрезке [-1; 1].

[b]ХАРАКТЕРИСТИКИ

1) функция возрастает на отрезке [-1; 1]
2) функция убывает на отрезке [-1; 1]
3) функция имеет точку минимума на отрезке [-1; 1]
4) функция имеет точку максимума на отрезке [-1; 1]

На диаграмме показано количество запросов аббревиатуры ЕГЭ, сделанных на поисковом сайте Google во все месяцы с сентября 2015 года по август 2016 года. По горизонтали указываются месяца и год, по вертикали - количество запросов за данный месяц.

Пользуясь диаграммой, установите связь между промежутками времени и характером изменения количества запросов.

[b]ПРОМЕЖУТКИ ВРЕМЕНИ
А) Осень
Б) Зима
В) Весна
Г) Лето

[b]ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ЗАПРОСОВ
1) Резкий спад количества запросов
2) Количество запросов практически не менялось
3) Количество запросов плавно снижалось
4) Количество запросов плавно росло

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

На графике изображена зависимость частоты пульса гимнаста от времени в течение и после его выступления в вольных упражнениях.
На горизонтальной оси отмечено время(в минутах), прошедшее с начала выступления гимнаста, на вертикальной оси - частота пульса(в ударах в минуту).

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому периоду времени характеристику пульса гимнаста на этом периоде.

В таблице указаны доходы и расходы фирмы за 5 месяцев.

Пользуясь таблицей, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику доходов и расходов.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

На рисунке точками показана среднесуточная температура воздуха в Москве в январе 2011 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.
Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику изменения температуры.

На графике изображена зависимость скорости движения легкового автомобиля от времени. На вертикальной оси отмечена скорость легкового автомобиля в км/ч, на горизонтальной - время в секундах, прошедшее с начала движения автомобиля.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому периоду времени характеристику движения автомобиля на этом интервале.

ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ

А) 0-30 с
Б) 60-60 с
В) 60-90 с
Г) 90-120 с

ХАРАКТЕРИСТИКИ

1) скорость автомобиля достигла максимума за всё время движения автомобиля
2) скорость автомобиля не уменьшалась и не превышала 40 км/ч
3) автомобиль сделал остановку на 15 секунд
4) скорость автомобиля не увеличивалась на всём интервале

A
B
C
D

ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

1) -4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя; на вертикальной оси - температура двигателя в градусах Цельсия.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику процесса разогрева двигателя на этом интервале.

ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ

A) 0-1 мин.
Б) 1-3 мин.
B) 3-6 мин.
Г) 8-10 мин.

ХАРАКТЕРИСТИКИ

1) самый медленный рост температуры
2) температура падала
3) температура находилась в пределах от 40 °С до 80 °С
4) температура не превышала 30 °С.

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D.
В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

На графике изображена зависимость скорости погружения батискафа от времени. На вертикальной оси отмечена скорость в м/с, на горизонтальной - время в секундах, прошедшее с начала погружения.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику погружения батискафа на этом интервале.

ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ

А) 60-150c
Б) 150-180c
В) 180-240c
Г) 240-300 c

ХАРАКТЕРИСТИКИ

1) Батискаф 45 секунд погружался с постоянной скоростью.
2) Скорость погружения уменьшалась, а затем произошла остановка на полминуты.
3) Скорость погружения достигла максимума за все время.
4) Скорость погружения не увеличивалась на всем интервале, но батискаф не останавливался.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

На рисунке изображён график функции у = f(x) и отмечены точки А, В. С и D на оси Ох. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной.

А) А
Б) В
В) С
Г) D

ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНОЙ

1) значение функции в точке отрицательно и значение производной функции в точке отрицательно

2) значение функции в точке положительно и значение производной функции в точке положительно

3) значение функции в точке отрицательно, а значение производной функции в точке положительно

4) значение функции в точке положительно, а значение производной функции в точке равно нулю

На рисунке изображён график функции y=f(х). Точки a, b, c, d и e
задают на оси Ох интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.

На рисунке изображён график функции y=f(x). Точки a, b, c, d и e
задают на оси Ox интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.

На диаграмме показаны объёмы месячных продаж холодильников в магазине бытовой техники в течение года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали - количество проданных холодильников.

Пользуясь диаграммой, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику продаж данного товара.

А) январь-март
Б) апрель-июнь
В) июль-сентябрь
Г) октябрь-декабрь

ХАРАКТЕРИСТИКА ПРОДАЖ

1) наибольший рост объёма продаж
2) наименьший рост объёма продаж
3) достиг минимума за всё время
4) достиг максимума за всё время

На рисунке точками показано атмосферное давление в городе N на протяжении трёх суток с 4 по 6 апреля 2013 года. В течение суток давление измеряется 4 раза: в 0:00, в 6:00, в 12:00 и в 18:00. По горизонтали указываются время суток и дата, по вертикали - давление в миллиметрах ртутного столба. Для наглядности точки соединены линиями.

На рисунке точками показаны объёмы месячных продаж обогревателей в магазине бытовой техники. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали - количество проданных обогревателей. Для наглядности точки соединены линией.

На диаграмме изображена цена акций компании в период с 1 по 14 сентября 2013 г. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - цена акции в рублях.

Пользуясь диаграммой, поставьте в соответствие каждому из ука¬занных периодов времени характеристику цены акций.
А) 1-3 сентября 1)самое быстрое падение цены цена
Б) 4-6 сентября 2)росла в течение всего периода
В) 7-9 сентября 3)самое медленное падение цены
Г) 9-11 сентября 4)цена сначала увеличивалась, а потом стала уменьшаться

На графике изображена зависимость скорости движения рейсового автобуса от времени. На вертикальной оси отмечена скорость ав¬тобуса в км/ч, на горизонтальной - время в минутах, прошедшее с начала движения автобус

ИНТЕРВАЛЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ВРЕМЕНИ ДВИЖЕНИЯ
А) 4-8 мин 1) была остановка длительностью 2 мин
Б) 8-12 мин 2) скорость не меньше 20 км/ч на всём интервале
В) 12-16 мин 3) скорость не больше 60 км/ч
Г) 18-22 мин 4) была остановка длительностью 1 мин

На диаграмме изображена цена акций компании в период с 1 по 14 сентября 2013 г. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - цена акции в рублях.Пользуясь диаграммой, поставьте в соответствие каждому из указанных интервалов времени характеристику цены акций.

На рисунке точками показано атмосферное давление в городе N на протяжении трёх суток с 4 по 6 апреля 2013 года. В течение суток давление измеряется 4 раза: в 0:00,в 6:00, в 12:00, и в 18:00. По горизонтали указывается время суток и дата, по вертикали – давление в миллиметрах ртутного столба. Для наглядности точки соединены линиями. Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из ука¬занных периодов времени характеристику атмосферного давления в городе N в течение этого периода.

Главная

Как подготовиться к решению заданий ЕГЭ № 14 по стереометрии | 1С:Репетитор

Как показывают результаты профильного экзамена по математике, задачи по геометрии - в числе самых сложных для выпускников. Тем не менее, решить их, хотя бы частично, а значит заработать дополнительные баллы к общему результату возможно. Для этого необходимо, конечно, знать достаточно много о «поведении» геометрических фигур и уметь применять эти знания для решения задач. Здесь мы постараемся дать некоторые рекомендации, как подготовиться к решению задачи по стереометрии.

Что нужно знать о задаче по стереометрии № 14 варианта КИМ ЕГЭ

Эта задача обычно состоит из двух частей:

При решении стереометрических задач более эффективным по сравнению с классическим методом нередко оказывается векторно-координатный. Классический метод решения задач требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, умения применять их на практике, строить чертежи пространственных тел и сводить стереометрическую задачу к цепочке планиметрических . Классический метод, как правило, быстрее приводит к искомому результату, чем векторно-координатный, но требует определенной гибкости мышления. Векторно-координатный метод представляет собой набор готовых формул и алгоритмов, но при этом требует более длительных расчетов; тем не менее, для некоторых задач, например, для нахождения углов в пространстве , он предпочтительнее классического.

Многим абитуриентам не позволяет справиться со стереометрической задачей неразвитое пространственное воображение . В этом случае мы рекомендуем использовать для самоподготовки интерактивные тренажеры с динамическими моделями пространственных тел. на портале «1С:Репетитор» (для перехода к их использованию необходимо зарегистрироваться): работая с ними, вы не только сможете «выстроить» решение задачи «по шагам», но и на объемной модели увидеть все этапы построения чертежа в различных ракурсах.

С помощью таких же динамических чертежей мы рекомендуем учиться строить сечения многогранников. Кроме того, что модель автоматически проверит правильность вашего построения, вы сами сможете, рассматривая сечение с разных сторон, убедиться, верно или неверно оно построено, и если неправильно, то в чем именно ошибка. Построение сечения на бумаге, с помощью карандаша и линейки, конечно, таких возможностей не дает. Посмотрите пример построения сечения пирамиды плоскостью с использованием такой модели (Нажмите на картинку, что бы перейти к тренажеру):

Последний вопрос, на который надо обратить внимание, - это нахождение площадей сечений или объемов , получившихся после построения сечения многогранников. Здесь также существуют подходы и теоремы, которые позволяют в общем случае существенно сократить трудозатраты на поиск решения и получение ответа. В курсе «1С:Репетитор» мы знакомим вас с этими приемами.

Если вы следовали нашим советам, разобрались со всеми вопросами, которые здесь затронуты, и решили достаточное количество задач, то велика вероятность, что вы практически готовы к решению задачи по стереометрии на профильном ЕГЭ по математике в 2018 году. Дальше необходимо только поддерживать себя «в форме» до самого экзамена, то есть решать, решать и решать задачи, совершенствуя свое умение применять изученные приемы и методы в разных ситуациях. Удачи!

Регулярно тренируйтесь в решении задач

Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно .
Вы можете:

• заниматься самостоятельно и бесплатно , используя учебные материалы, включающие комплекс видеоуроков, пошаговых тренажеров и онлайн-тестов по каждой теме ЕГЭ;
• воспользоваться более эффективным (с учетом особенностей восприятия учащихся) средством: пройти, , на которых будут детально разбираться теория и способы решения задач ЕГЭ по математике.

В 2017 году мы провели серию вебинаров, посвященный рациональным уравнениям и неравенствам. Записи вебинаров будут доступны пользователям, оформившим подписку на весь курс 9900₽ 7900₽ . Для пробы можете купить доступ на один месяц за 990 ₽

Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
Как решать задание 14 на экзамене ЕГЭ, задачи по геометрии, решение задач, по стереометрии, методы решения задач, тренажеры, видео, КИМ ЕГЭ 2017, подготовка к ЕГЭ, профиль математика, математика профильного уровня, решение задачи по наклонной треугольной призме, грани, взаимно перпендикулярно, общее ребро, плоскости, точки, ребро равно, боковая поверхность, решение задач на сечение многогранника, перпендикулярное сечение, вычислить объем фигуры, в основании прямой треугольной призмы лежит, признаки равенства и подобия треугольников, примеры решения задач ЕГЭ по геометрии, вычисление сечения, задачи по математике профильного уровня, применение методов сечения, решение задач на площадь, задачи ЕГЭ 2017 по стереометрии, подготовка к ЕГЭ, выпускникам 11 класса, в 2018 году, поступающим в технический вуз.

Считается, что задача по стереометрии на Профильном ЕГЭ по математике - только для отличников. Что для ее решения необходимы особые таланты и загадочное «пространственное мышление», которым обладают с рождения лишь редкие счастливчики.

Так ли это?

К счастью, всё значительно проще. То, что так красиво называют «пространственным мышлением», чаще всего означает знание основ стереометрии и умение строить чертежи.

Во-первых, необходимо знание формул стереометрии. В наших таблицах «Многогранники » и «Тела вращения » приведены все формулы, по которым вычисляются объемы и площади поверхности трехмерных тел.

Во-вторых - уверенное решение задач по геометрии, представленных в части 1 (первые 12 задач ЕГЭ). Это и планиметрические задачи, и стереометрические .

И главное - для решения задачи 14 вам понадобятся основные аксиомы и теоремы стереометрии. Лучше всего, если вы приобретете учебник по геометрии для 10-11 класса (автор - А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян), и ответите на вопросы, список которых приведен ниже. Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.

Работая над этим заданием, сформулируйте для себя - чем отличаются определение и признак . Есть, например, определение параллельности прямой и плоскости - и признак параллельности прямой и плоскости. В чем разница между ними?

Очень хорошо, если вы сделаете задание самостоятельно, а затем сверите с ответами. Все ответы можно найти на нашем сайте, в этом разделе.

Программа по стереометрии .

1. Плоскость в пространстве .Закончите фразу: Плоскость можно провести через...

   (Дайте четыре варианта ответа).

2. Расположение плоскостей в пространстве.Закончите фразу: Если две плоскости имеют общую точку, то они...
3. Параллельность прямой и плоскости. Определение и признак .
4. Что такое наклонная и проекция наклонной . Рисунок.
5. Угол между прямой и плоскостью.
6. Перпендикулярность прямой и плоскости. Определение и признак.
7. Скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми .
8. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости.
9. Параллельность плоскостей. Определение и признак.
10. Перпендикулярность плоскостей. Определение и признак.
11. Закончите фразу:а) Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью...

    б) Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями...

Приведем несколько простых правил для решения задач по стереометрии:

Есть два основных способа решения задач по стереометрии на ЕГЭ по математике. Первый - классический: применение на практике определений, теорем и признаков, список которых приведен выше. Второй -